用“圈圈游戏”读懂“重叠的世界”，不讲空概念，只建真模型

小宇的课堂笔记：

题：“三（1）班有32人参加绘画小组，28人参加书法小组，其中有15人两个小组都参加了。问：三（1）班至少有多少人？”

他列式：32 + 28 = 60，60 −15 = 45 → 答：45人。

老师问：“为什么减15？”

他答：“因为重复了……”

又问：“如果15人是‘都参加’，那他们被算了几次？该减几次？”

他停顿：“……算了两次？所以减一次？”

——他算对了答案，但没真正“看见”那个重叠的区域。

问题不在不会加减，而在于：

把“集合”当成三个数字的运算题，没建立起可触摸、可移动、可验证的重叠模型；

却没经历那个关键启蒙：

集合不是抽象符号，而是生活中真实存在的“圈”——教室里的兴趣小组、文具盒里的橡皮和尺子、操场上的跳绳队和足球队……只要有人/物同时属于两个圈，重叠就发生了。

本文不出现“∈”“∩”“∪”等符号，不定义“全集”“补集”，

只用3个生活化圈圈实验 + 1张“重叠结构图” + 3类典型题的“画圈解法”，

带孩子亲手把“重复的人”从纸上“请出来”，站在两个圈的交界处——

让抽象的“交集”，变成孩子指尖能指、眼睛能数、心里能懂的真实存在。

所有内容严格对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数据意识”“几何直观”学段要求，适配人教版、北师大版三年级下册“数学广角——集合”单元。

一、先玩透：三个“圈圈实验”，让重叠长出形状

实验①：教室地板上的“兴趣小组圈”

材料：两条彩色胶带（红、蓝）、15张姓名贴纸（写同学名字）、小椅子。

步骤：

1.用红胶带在地板围一个大圈，标“绘画组”；用蓝胶带围另一个圈，标“书法组”；两圈部分重叠；

2.请32位“绘画组同学”站进红圈（可重叠区）；再请28位“书法组同学”站进蓝圈；

3.观察重叠区：发现15人同时站在两个圈里（脚跨红蓝胶带）；

4.问：“现在教室里一共多少人？怎么数才不重复、不遗漏？”

→孩子自然答：“红圈人数 + 蓝圈人数 − 重叠区人数。”

→ 追问：“为什么减？因为重叠区的人，被我们数了两次！”

认知锚点：

-“都参加”的15人，不是“多出来”的，而是站在两个圈交界处的桥梁；

-减去15，不是删掉人，而是把被多算的一次，还给真实世界。

实验②：文具盒里的“橡皮与尺子圈”

材料：透明塑料盒、10支铅笔、8块橡皮、6把尺子（其中3块橡皮和2把尺子同色）。

玩法：

在盒内画两个圆圈：左圈“橡皮”，右圈“尺子”；

-把8块橡皮全放左圈，6把尺子全放右圈；

发现：2块蓝色橡皮和2把蓝色尺子——它们颜色相同，代表“既是橡皮又是尺子”（如橡皮擦+直尺二合一文具）；

把这2件“双重身份”文具，移到两圈重叠区；

数总数：左圈剩6块（8−2），右圈剩4把（6−2），重叠区2件 → 总数 = 6 +4 + 2 = 12件；

→ 对比错误算法：8 + 6 = 14（多算2次重叠文具）。

关键顿悟：

“重叠”不是错误三年级下册数学广角搭配视频，而是事物天然的多重属性；

数“总类”时，必须承认：有些东西，天生就站在两个圈的中间。

实验③：操场上的“跳绳队 &足球队”动态圈

材料：两根长绳（红、蓝）、12名志愿者（贴姓名牌）。

玩法：

红绳围“跳绳队”，蓝绳围“足球队”；

-安排：7人只跳绳，5人只踢球，3人既跳绳又踢球；

让“双重身份者”站到两绳交叠处；

提问：“跳绳队共几人？足球队共几人？全班共几人？”

→ 孩子指着说：“跳绳队=7+3=10；足球队=5+3=8；全班=7+5+3=15。”

→引导：“如果题目只告诉你‘跳绳10人，足球8人，共15人’，你能反推出重叠几人吗？”

→ 自然得出：10 + 8 − 15 = 3人（即“既……又……”的人数）。

能力跃迁：

从“给重叠数，求总数” → 到“给总数，反推重叠数”；

-模型已内化，公式成为自然结果。

二、“重叠结构图”｜一张图，统摄所有集合题

图解三原则（孩子必须指着图说出）：

圈外不计：题目问“三（1）班至少有多少人”，默认所有人至少参加一项→ 全班 = 三块区域之和；

重叠必标：任何“既……又……”“同时……”“都……”都指向重叠区，是解题钥匙；

只属要算：圈内总数 ≠ 只属该圈人数，需减去重叠部分（如绘画组32人中，17人“只绘画”，15人“也书法”）。

三、“画圈解法”三步走｜不背公式，靠图说话

类型①：基础重叠题（求总数）

真题示范（2023·上海静教院附校）：

学校科技节，有45人参加机器人比赛，38人参加编程比赛，其中22人两项都参加。问：至少有多少人参加了科技节？

画圈解法三步：

画两个相交圆，标“机器人”“编程”，重叠区写“22”；

算只属部分：

→ 机器人只参加：45 − 22 =23；

→编程只参加：38 − 22 =16；

加总三块：23 + 16 + 22 = 61人。

防错提醒：

-若题目问“最多有多少人”，则考虑“可能有人两项都没参加”→ 此时总数 ≥ 61，但无法确定上限；

“至少”意味着：假设无人游离于两圈之外。

类型②：反推重叠题（求“既……又……”人数）

真题示范（2023·成都泡桐树小学）：

三（2）班共48人，30人订《少年报》，25人订《儿童时代》，每人至少订一种。问：两种都订的有多少人？

画圈解法三步：

画圈，设重叠区为x；

2.表只属部分：

→只订《少年报》：30 − x；

→只订《儿童时代》：25 − x；

列方程：(30 − x) + (25 − x) + x = 48 →55 − x = 48 → x= 7人。

思维升级：

不依赖“和−总数”口诀，而是从图结构自然导出方程；

x是重叠区，也是连接两个世界的“变量桥梁”。

类型③：三圈重叠题（拓展思维，非超纲）

真题示范（2023·北京中关村三小挑战题）：

某班同学参加三项活动：跳绳、踢毽、拍球。参加跳绳的有20人，踢毽18人，拍球15人；同时参加跳绳和踢毽的有8人，踢毽和拍球的有6人，跳绳和拍球的有5人；三项都参加的有3人。问：至少有多少人？

画圈解法三步（降维处理）：

画三圆相交图，中心重叠区填“3”；

2.从两两重叠中剥离“仅两项”：

→跳绳&踢毽共8人，含3人三项，故“仅跳绳&踢毽”= 8 − 3 = 5；

→同理，“仅踢毽&拍球”= 6 −3 = 3；“仅跳绳&拍球”=5 − 3 = 2；

算仅一项人数：

→ 仅跳绳 = 20 − (5 + 2 + 3) = 10；

→ 仅踢毽 = 18 − (5 + 3+ 3) = 7；

→ 仅拍球 = 15 − (2 +3 + 3) = 7；

加总全部区域：10 + 7 +7 + 5 + 3 + 2 +3 = 47人。

重要说明：

三年级不强求掌握三圈，但通过“剥洋葱式”拆解（先中心，再两两，最后单项），孩子能建立结构分层意识；

-此法为四五年级韦恩图打下坚实模型基础。

四、结语：集合不是圈，而是孩子理解“世界如何交叠”的第一把尺子

当孩子不再把“32人绘画、28人书法、15人两项”当成三堆数字，

而是蹲在地上，用胶带围出两个圈，把15个名字贴纸郑重放在交叠处，说：“看，他们不是多出来的，他们是连接两个世界的桥。”

当他面对“至少多少人”，不套公式，而是立刻画图、标数、分块、相加，指着重叠区说：“这里的人，被数了两次，我们要还回去一次。”

当他升入高年级，学到“并集”“交集”符号时，脑海里浮现的不是抽象定义，而是：

——地板上那两条相交的胶带；

——文具盒里那两块站在交界处的蓝色橡皮；

——操场上三个脚跨两绳的孩子，笑着喊：“我既能跳绳，也能踢球！”

——那一刻，数学才真正完成了它的启蒙使命：

它不是试卷上等待识别的符号，

而是他眼中那个允许多重身份、尊重交叉存在、承认世界本就重叠的真实图景；

它最终要抵达的，不是“答对一道题”，

而是孩子某天看着班级合影，指着两个朋友说：

“老师，我知道他们既是同桌，又是邻居，还是足球队队友——一个人，本来就可以站在很多个圈的中间。”

（集合启蒙·通关）

今晚就能开始：

用胶带在客厅地板画两个圈，让孩子邀请家人“报名”加入；

给他10颗糖、8颗巧克力豆，设计“既是糖又是巧克力”的混搭款；

最后，请他指着交叠区说：“看，重叠不是错误，是世界的温柔。”

因为我知道：

最深刻的数学启蒙，不发生在孩子写出“45”的瞬间三年级下册数学广角搭配视频，

而发生在他第一次，用双手围出两个圈，

并把那个“既在这里，又在那里”的小小存在，

稳稳安放在交界处时，

眼睛里闪过的那份澄澈与确信。